키르히호프의 전압법칙과 메쉬해석법

지난 포스팅에는 키르히호프 전류법칙 (KCL, 제1법칙)을 공부해보았다.

뭐 읽는 것만으로, 작성하는 것만으로도 공부가 되니까 공부라고 하자.

 

이번에는 키르히호프 전압법칙이다. 

다시 이야기 하지만 1법칙은 전류, 2법칙은 전압이다.

전류는 Current, 전압은 Voltage로, 제 1법칙은 KCL, 제2법칙은 KVL이다. 

 

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잠시 다른 길로 세자면, 영어를 공부함으로 다양한 학문의 접근성이 높아진다.  학문이라는 것이 전 세계에서 모든 사람들이 공통으로 연구하는 학문이 많기 때문에 여러사람들의 자료를 얻다보면 영어를 좀 해놓으면 도움이 된다. 

사실 내 수준은 그냥 읽고 무슨 뜻인지정도만 알기 때문에 사실 큰 도움은 안되는데, 영어 약자나, 이런 것들은 에이비씨 정도 이상 알고 있는, 사실 초등학교 6학년 정도의 영어수준만 알면 된다.

 

아무튼 불필요하다고 생각하면 SKIP하면 된다.

유튜브가 검색사이트보다 더 먼저 검색이 된다고 하지만, 찾아보는 시간이나 데이터 때문에 문제 때문에 사실 블로그가 더 도움이 될 때가 많다. 

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키르히호프 전압법칙 (KVL)

 

키르히호프 전압법칙은 "하나의 폐회로(닫힌 회로, Closed Circuit)에서 인가전압과 강하전압의 합은 0이다."라고 말한다. 전압은 단위전하가 갖고 있는 에너지, 즉 회로에 전압이 공급된다는 것은 에너지가 가해진 것이다. 에너지는 회로 내에서 강하되는데, 이들의 합이 0이라는 것은 공급전압과 강하전압이 같다라는 것을 의미한다.

 

아래의 그림 1은 폐회로 하나로 구성된 회로이다. 이러한 폐회로를 망(MESH)라고 부른다. 망은 가장 단순한 폐회로를 의미한다. 이를 기준으로 해석하는 방법을 메쉬해석 또는 루프 해석이라고 부른다. 

그림1

가운데 루프가 있다. 이 루프는 방향이 중요하다. 전압의 방정식을 구하는데 방향성을 가지도록 설정하였다.

방향은 해석하는 사람이 편한대로 설정하면 좋다. 하지만 일반적으로 +에서 -로 흐르도록 설정하면 좋다. 또한 이렇게 그렸을 때 반드시 각 저항에 극성을 표시해야 실수 하지 않고 해석이 편해진다. 

* 사실 루프(메쉬)는 전류의 방향이라고 봐야 한다. 

 

위의 그림1에서 루프의 방향을 보자 V1부터 시작해보겠다.

 

* V1이 루프를 만났을 때 + 방향부터 시작하였다. : +V1

* V2가 루프를 만났을 때 + 방향부터 시작하였다. : +V2

* V3가 루프를 만났을 때 + 방향부터 시작하였다. : +V3

* Vt가 루프를 만났을 때 - 방향부터 시작하였다. : -V3

 

이를 모두 합하면

V1 + V2 + V3 - Vt = 0 (식1)

으로 표현가능하다.

 

보면 알겠지만 사실 공급전압(Vt)이 R1, R2, R3를 만나면서 전압강하 한 것이다. 이 표현을 다르게 표현한 것이다.

 

위의 식1은 변경하면

V1 + V2 + V3 = Vt (식2)

식2로 표현이 가능하다. 전압강하 한 값들을 모두 더한 값이다.

 

저렇게 보니 더욱 친근하게 느껴진다.

 

 

키르히호프 전압법칙을 이용한 회로해석법

 

아래의 예제를 보자.

그림 2

[1] 회로 내 루프를 찾기, 망 단위로 루프를 설정한다. 해석이 용이하도록 적절하게 그린다.

 

그림을 보면 2개의 루프를 만들었다. 그리고 그 루프는 각각 i1, i2 라고 이름을 붙였다.

 

[2] 각 루프의 전류의 흐름을 생각하고, 루프 내의 전압은 0이 되어야 한다.

 

[3] 루프가 겹치는 부분은 루프의 방향에 따라 전류의 부호를 생각하고 방정식을 만든다.

 

이제 본격적으로 방정식을 만든다. 일단 첫번째 (왼쪽) 망의 방정식을 만든다.

[2]에서 설명한 것처럼 전압은 0이 되어야 한다. 일단 i1의 방향을 따라서 식을 만들어보자.

식3

일단 식3을 이용하여 식을 만들 것이다. V1은 R1에서의 전압강하, V2는 R2에서 전압강하이다.

옴의 법칙 V = I x R 이다. V1 = I1 x R1이다. 이걸 생각하면 쉽다. 각각 대입해보자.

식4

식4번은 일단 공식처럼 만들었다. 그런데 R1은 이해가 간다. i1을 곱하는 것을 말이다. 그런데 R2에서 전류를 구할 때 i1에서 i2를 빼주었다. 방향 때문에 만든 것이다. 일단 왼쪽 루프를 중심으로 방향을 설정하면 i1이 정방향이라고 했을 때, i2는 역방향이다. 그렇기 때문에 -를 붙여 계산을 한 것이다. 이해가 되었을것이다.

 

이제 식4에 우리가 알고 있는 갑들을 대입하여 보자.

식5

식 5를 조금 정리해 보자

식6

식 5번에서 모든 항을 10으로 나눠서 값을 간단하게 만들고 값을 정리한 것이다. 

 

이제 두번째 루프의 방정식을 만들어 보자. 그림2에서 보면 두번째 루프는 전압원이 없다. 그러면 전압원 자리는 0으로 표현하면 된다. 

 

식7

두번째 루프는 위와 같다. 여기서 주의할 점은 R2에는 2개의 루프가 걸린다. ㄱ이번에는 전류의 방향이 반대임을 알 수 있다. 두번째 루프가 가는 방향을 정방향으로 설정하기 때문에 i1은 마이너스로 표현하는 것이 맞다. 식7에 값을 대입하여 보자. *i2가 기준이다!

식 8

식8이 나오고 식을 정리해보자.

식 9

식 8번을 정리하여 식 9번과 같이 최종 결과가 나왔다. 그러면 식 6번의 최종값과 식 9번의 최종값을 연립하여 계산하면 된다.

 

[4] 연립방정식을 풀어보자

 

식10

식10번을 연립하여 계산하는 것은 간단하다. 식10번의 2번째 i2의 값을 1번째 i2에 대입하면 아래와 같다.

식11

다음은 i2를 구해보자

식12

이로서 각 루프의 전류값은

i1 = 3[A], i2 = 2[A] (식13)

 

[5] 옴의 법칙을 이용하여 전압 구하기

 

R1의 전압값을 구하여 보자. 옴의 법칙 V= I x R을 이용하면

 

V1 = R1 x i1

V2 = R2 x (i1 - i2)

V3 = R3 x i2

(식14)

 

* 여기서 V2와 V3는 전압이 같게 나온다. 회로의 특성상 당연. V2를 구할 때 주의하자. 전류를 각각 적용해야 한다.

 

V1 = 10 x 3 = 30 [V]

V2 = 20 x (3-2) = 20 x 1 = 20 [V]

V3 = 10 x 2 = 20 [V]

(식 15)

 

끝!

 

 

앞의 포스팅을 참고하면 키르히호프의 전압법칙으로 해석한 결과와 키르히호프 전류법칙으로 해석한 결과는 같다.

이와 같이 키르히호프 전압법칙을 이요한 회로해석법을 메쉬해석법, 루프해석법이라고 한다. 메쉬와 루프해석법은 조금 차이가 있다. 루프를 설정할 때 차이가 나기는 하는데 연습문제 수준에서는 별 차이가 없다. 메쉬해석법은 가장 단순한 형태의 망을 단위로 회로를 해석한다. 루프는 회로의 형태에 따라 망과 복수의 망을 포함하는 루프를 참고한다. 연습문제 수준에서는 메쉬해석이라고 보시면 편하다. 기본 개념은 같기 때문에 그냥 설명하였다.