키르히호프의 제1법칙 (KCL)과 회로해석법

앞서 테브난 등가회로를 설명하였는데, 테브난 등가회로는 회로를 해석하는데 유용한 도구이다. 어려운 방법도 아니고 말이다. 이번에는 회로 해석법의 대표 중에 하나인 키르히호프의 법칙을 보려고 한다.

 

구스타프 키르히호프 (1824~1887)

 

독일의 물리학자이다. 1847년 대학을 졸업한 후 브레슬라우 대학과 하이델베르크 대학, 베를린 대학에서 교수로 재직하였다. 이론 물리학에서는 1847년에 '키르히호프의 법칙'을 발견하였다. 이외에도 복사선의 흡수능과 사출능에 관한 법칙의 확립도 유명한 이론이다. 

 

키르히호프의 법칙

 

제1법칙 [ 유입전류의 합 = 유출 전류의 합] 전류법칙(KCL)

제2법칙 [ 기전력의 합 = 전압강하의 합] 전압법칙(KVL)

 

간단하게 설명하자면 위의 2줄로 정리가 가능하다. 하나씩 살펴보려고 한다.

 

 

키르히호프의 전류법칙 (제1법칙)

 

키르히호프의 전류법칙은 "회로 내의 접점에 들어오고 나간 전류의 합은 0이다"로 정의할 수 있다. 전류는 전하의 흐름이다. 회로 내 임의의 한 점에서 전류의 흐름을 생각하면 들어온 전류의 합과 나간 전류의 합은 항상 같다. 물의 흐름으로 생각하면 더욱 쉽다. 배수관을 통과하는 물의 흐름을 볼 때 배수관으로 흘러 들어온 물은 나가는 물의 양과 같다고 볼 수 있기 때문이다. 그림을 보면 더욱 쉽다.

 

 

위의 예제에서 처럼 I_A 전류 10[A]가 접점(분기점) P로 흘러들어왔다면 여기서 나가는 전류는 10[A]가 흘러나가야 한다. 이는 I_B 전류 7[A], I_C 전류 3[A]로 흘러나가게 된다.

 

이걸 수식으로 나타내면 아래와 같다.

식 1

A가 10이고 B는 7, C는 3이다. 

 

또는 아래와 같이 표현도 가능하다.

식 2

위와 같이 되려면 대신에 기준이 필요하다.

위의 예시로 10+7+3 = 20 이 되어 버리기 때문에 기준이 필요하다.

 

무슨 이야기냐면 P점을 기준으로 모두 들어온 값(IN)으로 표현하던지, 모두 나가는 값(OUT)으로 표현해야 한다.

 

예를 들어 P점을 기준으로 모두 나간 값으로 표현하면 아래와 같다.

식 3

P를 기준으로 보았을 때 모두 나간 값(OUT)으로 표현하면, I_A는 오히려 P점으로 들어온 값(IN)이기 때문에 마이너스 표현을 하면 된다. 그래서 

식 4

위와 같이 표현이 가능한 것이다.

 

반대의 경우도 똑같이 표현이 가능하다.

P를 기준으로 모두 들어온 값(IN)으로 표현하면 아래와 같다

식 5

식 6

위에 정리한 내용으로 다시 표현하면 아래와 같다.

 

"유입 전류의 합 = 유출 전류의 합"

 

 

키르히호프의 전류법칙을 이용한 회로해석법 - 메쉬해석, 루프 해석

 

사실 모든 법칙은 알고 나면 간단하다. 이것도 간단하다. 수학적 공식은 사실 어려운 것이 아니라 몰라서 힘든것이다. 어려운 것은 답이 없는 것이 어려운 것이지 그래서 수학이 쉽다고 하는 사람은 많이 알고 있는 사람이다. 사실 나도 수학을 잘하는 편은 절대 아닌데, 그냥 남들만큼은 하는 것 같다. 내 주변의 남들!

 

아무튼 본론으로 돌아가서 메쉬해석법을 정리해보려고 한다. 일단 위의 회로를 본다.

대부분 메쉬해석을 하는 회로는 대부분 저런 형태를 나타낸다.

 

[1] 접점에서의 키르히호프의 전류법칙을 이용하여 전류의 흐름에 대한 식을 만든다.

일단 불필요한 값은 보기 편하게 일단 지웠다. 

a접점에서 들어오는 값 i_1이 있고 나가는 값 i_2, i_3가 있다. 

이걸 키르히호프의 법칙으로 만들면 아래와 같다.

식 7

조금 복잡해 보일 수 있지만 자세히 들여다 보자. 

전류 i_1은 저항 R1을 지난다. 그리고 전류 i_1은 분기점 a에서 i_2와 i_3로 나뉘어 진다.

그러면 전류 i_2는 저항 R2를 지나고, 전류 i_3는 저항 R3를 지난다.

 

 

[2] 옴의 법칙을 이용하여 전류에 대한 식을 전압과 저항의 식으로 바꾼다.

 

옴의 법칙을 이용하여 계산한다.

식 8

모두 아는 옴의 법칙이다. 이 식을 어디다 대입하냐면 

식 9

여기다가 대입하면 된다.

 

위의 식을 변형하여 아래와 같이 한다.

식 10

전압과 저항의 식으로 변형을 하였다. 여기에 우리가 아는 값들을 막 대입하면 된다.

식 11

식 12

일단 R1, R2, R3는 안다. V1은 모르겠다. 그런데 V2와 V3는 같다. (V2 = V3, *병렬저항이기 때문)

식 13

정리되면 아래와 같이 깔끔하게 정리된다.

식 14

 

[3] 전압과 전류의 직병렬회로의 특징과 인가전압의 관계를 이용하여 계산식을 만들고 회로 내의 전압을 구한다.

 

전압강하를 공부했다면 자연스럽게 V1과 V2의 합을 구하면 50이라는 값이 나온다.

 

식 15

식 16

식 15번을 이용하여 식 16번을 만들고 식 16을 식 14번에 대입하면 아래와 같다.

 

식 17

이 식을 풀면 우리는 V1을 드디어 구할 수 있다.!!!!!

 

식 18

 

[4] 나머지 전압 V2와 V3의 전압을 구한다.

 

 

식 19

식 18번을 대입하면 간단하게 V2를 구할 수 있다.

식 20

식 19번에 의하여 식 20번 처럼 V3를 자연스럽게 구하여 졌다.

 

 

[5] 각 전압값과 저항값을 대입하여 각각 전류값을 구한다.

 

식 21

식 22

 

키르히호프 전류 법칙에 의하여 식 9번에 대입하면 식 23번과 같이 나온다.

식 23

중요한 것은 식 10번에서 시작되는 것 같다. 옴의 법칙을 이용하여 전압과 저항의 식으로 바꾸는 것에서 시작하였다. 저항값은 회로도에서 주어졌고, 인가전압을 알고 있는 상태에서 각 저항의 강하전압은 저항의 직병렬 연결에 대하여 방정식 형태로 관계식을 구할 수 있다. 

 

다시 키르히호프 전류법칙을 이용한 회로해석법을 다시 정리해보면 아래와 같다.

 

[1] 접점에서 키르히호프 전류법칙을 이용하여 전류의 흐름에 대한 식을 만듬

[2] 전류에 대한 식을 옴의 법칙을 이용하여 전압과 저항의 식으로 변경

[3] 전압과 전류의 직병렬회로에서 특징과 인가전압과의 관계를 이요하여 회로 내의 전압 구하기

[4] 인가전압과 앞서 구한 전압과 관계식을 정리하여 나머지 전압 구하기

[5] 모든 저항에서 전압을 구하여 옴의 법칙을 이용하여 전류 구하기